1. 原函数

首先认识一下原函数:
原函数的定义:  如果区间I上,可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。

原函数存在定理:如果函数f(x)在区间 I 上连续,那么在区间 I 上存在可导函数F(x),使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).

简单地说:连续函数一定有原函数。

在区间 I 上,函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分,记作 ∫ f(x)dx . 其中 记号 ∫ 称为 积分号,f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式,x 称为积分变量。

 2. 常见的积分公式

 

3. 不定积分的性质

设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则∫ [ f(x) ± g(x)] dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。

总结:

①加减积分可以分开加减积分;

②设函数f(x)及g(x)的原函数存在,k为非零常数,则  ∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx  记:非零常数 乘以积分,可以把常数拿到外面乘不定积分。

4. 换元法

4.1 第一类换元法 

设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式,这也叫做凑微分法。

 

4.2  第二类换元积分法

设x=ψ(t)是单调的可导函数,并且 ψ'(t)≠0,又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数,则有换元公式:

 这里,

 4.3 三种常见的换元公式用法

 4.4 分部积分法

假设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数,则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项,得: u v'=(u v)'-u' v  对这个等式两边求积分  ∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式  分部积分法的积分顺序:反对幂指三,其含义是 从后面考虑容易积分的,先对那个积分。积分顺序:先三角函数再对数函数和指数函数其次,幂函数再次,对数函数,最后才是反三角函数。

5. 有理函数的积分

5.1 复合函数积分利用换元法

 ∫ f[ g(x) ]dx, 令t=g(x) ,解出 x= u(t) ,t=g(x) 和x= u(t) 互为反函数,dx=u(t)dt 则∫f(t) du(t).

5.2 有理函数的积分

两个多项式的商 P(x) / Q(x) 称为有理函数,又称为有理分式。

当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式的次数时,称这有理函数为真分式。

当分子多项式P(x)的次数大于分母多项式的次数时,称这有理函数为假分式。

如果 分母Q(x)可以分解为两个多项式的乘积。

Q(x)=Q(x1)Q(x2) 且Q(x1)、Q(x2)没有公因式,可以拆分成两个真分式之和

P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x) + P2(x)/Q2(x)。

例如:设有两个个因子 A,B满足:

通过次幂的系数相等,有

A+B=1, -(2A+3B)=1,

我们可以进一步的解得:A=4, B=-3

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