• 注意坐标系旋转不同于坐标点旋转
  • 坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ

1.三维坐标系推导过程

假设三维坐标系是一个右手坐标系。如下图
在这里插入图片描述

可以通过右手定则确定是右手坐标系。
确定轴的旋转的正方向,用右手的大拇指指向轴的正方向,弯曲手指手指。手指方向即是轴的正旋转方向。

2.坐标轴绕z轴旋转

坐标轴绕z轴正向旋转相当于op向量在xoy平面上顺时针旋转:

在这里插入图片描述
则可以推导出
在这里插入图片描述
其中M’坐标(x’,y’,z’);M坐标(x,y,z)

3.绕X轴旋转

同理绕X轴正向旋转相当于如下图的向量旋转。
在这里插入图片描述
[ x ′ y ′ z ′ ] = [ 1 0 0 0 c o s ( θ ) s i n ( θ ) 0 − s i n ( θ ) c o s ( θ ) ] [ x y z ] \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0& 0 \\ 0&cos(\theta) & sin(\theta) \\ 0&-sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} xyz=1000cos(θ)sin(θ)0sin(θ)cos(θ)xyz

4. 绕Y轴旋转

绕Y轴正向旋转相当于下图

在这里插入图片描述
[ x ′ y ′ z ′ ] = [ c o s ( θ ) 0 − s i n ( θ ) 0 1 0 s i n ( θ ) 0 c o s ( θ ) ] [ x y z ] \begin{bmatrix} x' \\ y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & 0&-sin(\theta) \\ 0&1& 0 \\ sin(\theta) & 0& cos(\theta) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} xyz=cos(θ)0sin(θ)010sin(θ)0cos(θ)xyz

5.绕X,Y,Z轴正向旋转

绕X,Y,Z轴,坐标系正向旋转,所需要的旋转矩阵是
在这里插入图片描述

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