一、匈牙利算法(俗称“渣男算法”?)

匈牙利算法是对于一个二分图的概念上求一个最大匹配。

二、关于二分图

什么是二分图?请看这个链接:二分图
那什么是二分图的匹配和最大匹配呢?
二分图的匹配:给定一个二分图 G,在 G 的一个子图 M 中,M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称 M 是一个匹配。
二分图的最大匹配:所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配,其边数即为最大匹配数。

下面我们看图文解释:

在这里插入图片描述
在这张图中,我们发现每一条边两边所依附的顶点都是不同的,并且四组都可以匹配,所以这个图的最大匹配就是4。

在这里我们可以把这个算法做一个奇妙的比喻,比如左边的顶点是男生,右边的顶点是女生,左边跟右边的顶点有一条边则说明该男生对这个女生有好感(bushi ),有好感就可以给他匹配这个女生,然后一个男生和一个女生作为一个匹配。
下面我们看一下具体是怎么操作的:

(1)

在这里插入图片描述
该图为初始的图,什么操作也没有。

(2)

在这里插入图片描述

从第一个男生开始依次分配女生,首先先考虑第一个男生,我们发现第一个男生只对一个女生有好感,并且这个女生还没有匹配给其他男生,然后我们为他分配这个女生,匹配成功。

(3)

在这里插入图片描述

考虑第二个男生,这个男生对两个女生有好感,我们也是依次来看第二个男生有好感的女生,发现有两个女生没有分配给其他男生,我们为这个男生随机分配一个女生,匹配成功。

(4)

在这里插入图片描述

考虑第三个男生,第三个男生只对一个女生有好感(很专一,bushi ),该女生没有分配给其他男生,我们为这个男生分配这个女生。

(5)

在这里插入图片描述

考虑第四个男生,第四个男生只对一个女生有好感,我们为他分配这个女生的时候发现这个女生已经跟别的男生在一起了,第四个男生不会就此罢休,没有机会就创造机会,除非无路可走。 然后看一下跟这个女生在一起的男生还有没有对其他的女生有好感并且没有被分配出去,果然,第二个花心男还对其他女生有好感,然后我们为第二个男生分配第一个女生,把第三个女生分配给第四个男生,这个就全部匹配成功了。


下面贴上一道题看一下:

题目(二分图的最大匹配):
给定一个二分图,其中左半部包含 n1 个点(编号 1∼n1),右半部包含 n2 个点(编号 1∼n2),二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。
输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行,每行包含两个整数 u 和 v,表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式
输出一个整数,表示二分图的最大匹配数。

数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤105
输入样例:
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例:
2

AC代码(C++):

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=510,M=1e5+10;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int match[N];  //match[i]:第i个妹子匹配的男生是谁
bool st[N];
int n1,n2,m;

void add(int a,int b){  //邻接表
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

bool find(int x){
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){  //扫描每个妹子
        int j=e[i];
        if(!st[j]){   //如果该妹子没有男朋友
            st[j]=true;  //就给该妹子预定一个男朋友
            if(!match[j] || find(match[j])){  //(如果该妹子没有男朋友 || 该妹子的男朋友可以换一个女朋友)
                match[j]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    int a,b;
    memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
    while(m--){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n1;i++){  //依次为每个男生分配妹子
        memset(st,false,sizeof st);  //因为每次的状态不一样
        if(find(i)) res++;
    }
    printf("%d",res);
    return 0;
}

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转载标题:匈牙利算法 转载地址:https://www.123yun.com/article/2565.html

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